Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 383481251X

ISBN-13: 9783834812513

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren.

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Multiplikation nat¨urlicher Zahlen. ii) a + ∞ = ∞ + a = ∞ iii) 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0 f¨ur alle a ∈ N. und a·∞ = ∞·a = ∞ f¨ur alle a ∈ N {0}. 4) erf¨ullen. 20 § 3 Die Anordnungs-Axiome In der Analysis ist das Rechnen mit Ungleichungen ebenso wichtig wie das Rechnen mit Gleichungen. Das Rechnen mit Ungleichungen beruht auf den Anordnungs-Axiomen. Es stellt sich heraus, dass alles auf den Begriff des positiven Elements zur¨uckgef¨uhrt werden kann. Anordnungs-Axiome. In R sind gewisse Elemente als positiv ausgezeichnet (Schreibweise x > 0), so dass folgende Axiome erf¨ullt sind.

X > 0 und y > 0 =⇒ xy > 0 . 3) lassen sich zusammenfassend kurz so ausdr¨ucken: Summe und Produkt positiver Elemente sind wieder positiv. Zur Notation. Wir haben hier in der Formulierung der Axiome den Implikationspfeil benutzt. A ⇒ B bedeutet, dass die Aussage B aus der Aussage A folgt. Die Bezeichnung A ⇔ B bedeutet, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gilt, also die Aussagen A und B logisch a¨ quivalent sind. Schließlich heißt die Bezeichnung A :⇔ B, dass die Aussage A durch die Aussage B definiert wird.

N→∞ Vorsicht! Wenn an < bn f¨ur alle n, dann ist nicht notwendig lim an < lim bn , wie man an dem Beispiel der Folgen an = 0 und bn = 1n , (n 1), sieht, die beide gegen 0 konvergieren. § 4 Folgen, Grenzwerte 37 ¨ Beweis. Durch Ubergang zur Differenzenfolge (bn − an ) gen¨ugt es nach dem Corollar zu Satz 3, folgendes zu beweisen: Ist (cn ) eine konvergente Folge mit cn 0 f¨ur alle n, so gilt auch lim cn 0. Hierf¨ur geben wir einen Widerspruchsbeweis. W¨are dies nicht der Fall, so h¨atten wir lim cn = −ε n→∞ mit einem ε > 0 und es g¨abe ein N ∈ N mit |cn − (−ε)| < ε f¨ur alle n spruch cn < 0 f¨ur n N folgen w¨urde.

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by Steven
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